Метод трапеций

Для получения формулы трапеций интервал интегрирования [a, b] разбивается на n подынтервалов равной длины (шагов) точками: x0 = a, x1, x2, … , xi, xi+1, … , xn = b так, что

xi+1 - xi = h = , i = 1, 2, …, n.

На каждом отрезке (xi, xi+1) дугу Xi Xi+1 графика подынтегральной функции y = f(x) заменяют стягивающей ее хордой (рис. 2.5) и вычисляют площади трапеций xiXi Xi+1xi+1, высота которых равна h, а основания определяются значением функции f(xi), f(xi+1).

Рис. 2.5

Так как площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, интеграл приближенно равен сумме площадей всех полученных трапеций:

=

= =

= [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2)+…+ + 2f(xn-1) + f(xn)]=

= [f(xa) + 2f(x1) + 2f(x2)+…+ + 2f(xn-1) + f(xb)]=

= [ f(xa) + f(xb) + ]. (7)

Таким образом, формула трапеций имеет вид:

I = ≈ . (8)

Точность интегрирования для этого метода приближенно равняется ε ≈ h2.

Пример (продолжение). □Пользуясь формулой трапеций, вычислить при h = 0,2.

Решение. Вычисление интеграла методом трапеций (8) выполним в таблице Excel (рис. 6, 6-а).

Режим решения

Рис. 6

∑ = -0,68 -1,12 -1,32 -1,28 = -4,4 I = 0,1·[(0-1)-2·4,4] = -0,98

Режим показа формул

Рис. 6 - а

Разбивая интервал интегрирования на большее число отрезков, например, на 10, можно получить более точное решение (рис. 7).

Рис. 7

∑ = -0,37 -0,68 -0,93 -1,12 -1,25 -1,32 -1,33 -1,28 -1,17 = -9,45 I = 0,05∙ [(0 -1) + 2∙(-9,45) = -1,00■



6900435715326798.html
6900485750816332.html
    PR.RU™